Равновесие Нэша

Джон Форбс Нэш, ноябрь 2006

Равновесие Нэша (англ. Nash equilibrium) названо в честь Джона Форбса Нэша — так в теории игр называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша^[1].

Концепция равновесия Нэша (РН) впервые использована не Нэшем; Антуан Огюст Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша-Курно. Однако Нэш первым показал в своей диссертации по некооперативным играм в 1950-м году, что подобные равновесия должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Формальное определение

Допустим, $\ (S, H)$ — игра n лиц в нормальной форме, где $\ S$— набор чистых стратегий, а $\ H$— набор выигрышей. Когда каждый игрок $i \in \{1, ..., n\}$ выбирает стратегию $x_i \in S$ в профиле стратегий $\ x = (x_1, ..., x_n)$, игрок $\ i$ получает выигрыш $\ H_i(x)$. Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком $\ i$, но и от чужих стратегий. Профиль стратегий $x^* \in S$ является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии с $x_i^*$ на $x_i$ не выгодно ни одному игроку $\ i$, то есть для любого $\ i$

$H_i(x^*) \geq H_i(x_i, x^*_{-i}).$

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

Литература

1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики - М.: МГУ, 2005, 272 с.
2. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков — М.: Наука, 1985
3. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
4. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.

См. также

• Эффективность по Парето
• Парадокс Бертрана

Примечания

1. ↑ Univertv — Равновесие Нэша: шоппинг, репутация, голосование