Лемма Золотарёва

В теории чисел, Лемма Золотарёва утверждает, что символ Лежандра

$\left(\frac{a}{p}\right)$

для целого по модулю нечётного простого числа р, которое не разделяет a, можно вычислить как знак перестановки:

$\left(\frac{a}{p}\right) = \varepsilon(\pi_a)$

где ε обозначает знак перестановки и π является перестановкой ненулевых вычетов по модулю р , полученных умножением на a .

Доказательство из леммы Гаусса

Лемма Золотарева легко выводится из леммы Гаусса и наоборот. Например,

$\left(\frac{3}{11}\right)$ ,

является символом Лежандра (a / p) при а = 3 и р = 11. Начнём с множества {1,2, …, р-1} в виде матрицы из двух строк, так, что сумма двух элементов любого столбца равна нулю по модулю р , например:

1	2	3	4	5
10	9	8	7	6

Применим перестановку $U: x\mapsto ax$ (mod р):

3	6	9	1	4
8	5	2	10	7

Столбцы еще обладают тем свойством, что сумма двух элементов в одном столбце равна нулю по модулю р. Теперь применим подстановку V , которая поменяет местами любые две пары, в которых верхний член был изначально нижним членом:

3	5	2	1	4
8	6	9	10	7

Наконец, применим перестановку W, которая вернёт обратно исходную матрицу:

1	2	3	4	5
10	9	8	7	6

Таким образом, W⁻¹ = VU. Лемма Золотарёва утверждает, что (a / p) = 1 если и только если перестановка U чётная. Лемма Гаусса утверждает, что (a / p) = 1, если и только если V чётная. Но W чётная, так что обе леммы эквивалентны для данных (но произвольных) a и р.

История

Эта лемма была введена русским математиком Егором Ивановичем Золотарёвым в 1872 году в доказательстве квадратичной взаимности.

См. также: Лемма Гаусса

Примечания

• Zolotareff G. (1872). «Nouvelle démonstration de la loi de de réciprocité de Legendre». Nouvelles Annales de Mathématiques 11: 354–362.

Ссылки

• Статья на ресурсе PlanetMath о лемме Золотарёва; включает его доказательство квадратичной взаимности.