- Детерминант
-
Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.
Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А|, ||A|| или Δ(A).
Содержание
Определение через разложение по первой строке
Для матрицы порядка 1 детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:
Для матрицы детерминант определяется как
Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:
-
- , где — дополнительный минор к элементу a1j. Эта формула называется разложением по строке.
В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:
-
- = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):ДоказательствоПусть .
Докажем, что по индукции. Видно, что для матрицы это верно:Предполжим, что для матрицы порядка n−1 — верно.
-
-
Доказательство
Пусть .
Докажем, что по индукции. Видно, что для матрицы это верно:Предположим, что для матрицы порядка n−1 — верно.
Соберём коэффициенты при :
Соберём коэффициенты при :
-
- Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):
Определение через перестановки
Для матрицы справедлива форумула:
-
- ,
где α1,α2,...αn — перестановка порядка n, N(α1,α2...αn) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют "членами определителя". Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.
Свойства определителей
- Детерминант — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.
- При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
- Если две строки матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
- Если хотя бы одна строка нулевая, то определитель равен нулю.
- Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
- Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
- Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
Специальные виды определителей
- Определитель Вронского (Вронскиан)
- Определитель Вандермонда
- Определитель Грама
- Определитель Якоби (Якобиан)
См. также
Литература
- В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
- Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.
Ссылки
- Расчет определителя матрицы онлайн
-
Wikimedia Foundation. 2010.
- Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):
Полезное
Смотреть что такое "Детерминант" в других словарях:
ДЕТЕРМИНАНТ — ДЕТЕРМИНАНТ, единственная цифровая величина, сопоставленная с матрицей. МАТРИЦЫ можно использовать для преобразования любых геометрических фигур на плоскости или в многомерных пространствах, с учетом вращения, отражения, уменьшения или увеличения … Научно-технический энциклопедический словарь
детерминант — определитель, (решающий, определяющий) фактор; термин Словарь русских синонимов. детерминант сущ., кол во синонимов: 2 • определитель (10) • … Словарь синонимов
ДЕТЕРМИНАНТ — см. Определитель (детерминант) п го порядка. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия
ДЕТЕРМИНАНТ — консорция [от лат. determinaris (determinantis) определяющий], эдификатор, организм, определяющий условия жизни в сообществе. Обычно в качестве Детерминант выступает растение автотроф. Термин ввел В. Н. Сукачев (1930). Экологический… … Экологический словарь
детерминант — а, м. déterminant <лат. determinare ограничивать. 1. мат. Определитель, выражение составленное из матрицы, с помощью которого находят решение линейных систем уравнений. Крысин 1998. || расш. Определитель, решающий фактор. Подход к социально… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
ДЕТЕРМИНАНТ — (от лат. determinans определяющий) то же, что определитель … Большой Энциклопедический словарь
детерминант — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN determinant … Справочник технического переводчика
Детерминант — Детерминант член предложения, относящийся ко всему составу предложения, распространяющий его в целом и не связанный ни с каким отдельным его членом. Детерминант соединён с предложением связью свободного присоединения, внешне сходного с… … Лингвистический энциклопедический словарь
детерминант — (от лат. determinans определяющий), 1) в математике то же, что определитель. 2) В языкознании член предложения, относящийся ко всему его составу, распространяющий его в целом и не связанный ни с каким отдельным его членом. * * * ДЕТЕРМИНАНТ… … Энциклопедический словарь
детерминант — (лат. determinans (deter minantis) определяющий) мат. определитель, выражение, составленное из элементов матрицы; с помощью детерминанта находятся решения линейных систем уравнений. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, , 2009. детерминант… … Словарь иностранных слов русского языка
-
-
-