Верзиера

Верзьера Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Аньези (иногда ло́кон Аньези) — плоская кривая, геометрическое место точек M, для которых выполняется соотношение $\textstyle\frac{BM}{BC}=\frac{OA}{OB}$, где OA — диаметр окружности, BC — полухорда этой окружности, перпендикулярная OA.

Уравнения

O = (0,0), A = (0,a)

• В прямоугольной системе координат:

$y=\frac{8a^3}{4a^2+x^2}$

Вывод  

Координаты точки M, лежащей на верзьере — это x = BM, y = OB. OA = a и по определению строим пропорцию

$\textstyle\frac{x}{BC}=\frac{a}{y}$

Отсюда

$\textstyle BC=\frac{xy}{a}$

С другой стороны BC может быть найден из уравнения окружности:

$\textstyle \left (y-\frac{a}{2}\right )^2+x^2=\frac{a^2}{4}$

Нам известен y = OB, значит выражаем x²:

$\textstyle x^2=\frac{a^2}{4}-\left (y-\frac{a}{2}\right )^2$

Приравниваем оба выражения для BC:

$\textstyle\frac{x^2 y^2}{a^2}=\frac{a^2}{4}-\left (y-\frac{a}{2}\right )^2$

Возводим в квадрат, переносим и выносим y² за скобки:

$\textstyle\left (\frac{x^2}{a^2}+1\right )y^2=ay$

Выражаем y (y=0 не подходит по определению):

$\textstyle y=\frac{a^3}{a^2+x^2}$

• Параметрическое уравнение:

$\begin{cases}x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi \\y=a\cos^2\varphi \end{cases}$, где $\varphi$ — угол между OA и OC

Вывод  

Координаты точки M однозначно определяются углом $\varphi$ между OB и OC. Если OB = y, а BM = x, то по определению верзьеры можно составить пропорцию

$\textstyle\frac{OA}{y}=\frac{x}{BC}$

OA по предположению равен a. Из треугольника OBC: $BC=y\,\operatorname{tg}\,\varphi$, значит

$\textstyle\frac{a}{y}=\frac{x}{y\,\operatorname{tg}\,\varphi}$

отсюда $x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi$. Эту формулу подставляем в уравнение кривой:

$\textstyle y=\frac{a^3}{a^2+a^2\,\operatorname{tg}^2\,\varphi}$

$\textstyle y=\frac{a}{1+\,\operatorname{tg}^2\,\varphi}$

Используя тождество, получаем

$y=a\cos^2\varphi$

• В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:

$\textstyle \rho\sin{\varphi}=\frac{a^3}{a^2+\rho^2\cos^{2}\varphi}$

$\textstyle \rho^3(\cos^2\varphi\sin\varphi)+\rho(a^2\sin\varphi)-a^3=0$

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства

• Верзьера — кривая третьего порядка.
• Диаметр OA единственная ось симметрии кривой.
• Кривая имеет один максимум — A(0;a) и две точки перегиба — $\textstyle P_{1,2}\left (\pm\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{3a}{4}\right )$
• В окрестности вершины A верзьера приближается к окружности диаметра OA. В точке A происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке A: $\textstyle R_A=\frac{a}{2}$.
• Площадь под графиком S = πa². Она вычисляется интегрированием уравнения по всему $\textstyle\mathbb{R}$.
• Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси OX) $\textstyle V=\frac{\pi^2 a^3}{2}$.

Построение

Построение верзьеры

Строится окружность диаметра a и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

См. также

• Кривая
• Распределение Коши

Литература

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.:АСТ:Астрель, 2006.