Теоремы Карно

У этого термина существуют и другие значения, см. цикл Карно.

Теоремы Карно — две теоремы эвклидовой геометрии, названные в честь Лазара Карно (1753—1823).

Первая теорема (более известна как формула Карно)

Первая теорема Карно:
$DG+DH+DF = |DG| + |DH| - |DF| = R + r$

Пусть дан произвольный треугольник ABC. Тогда сумма алгебраических расстояний (англ.) от центра описанной окружности D до сторон треугольника ABC будет равна $DF + DG + DH = R + r$, где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной. Знак расстояния принимается отрицательным тогда и только тогда, когда отрезок DX (X = F, G, H) целиком лежит вне треугольника. В ее доказательстве используется теорема Птолемея.

Вторая теорема (известная также как критерий Карно)

Пусть дан треугольник АВС и точки А₁, В₁, С₁ на плоскости. Тогда перпендикуляры, опущенные из А₁, В₁, С₁ на BC, АС, AВ соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $A_{1}B^2-A_{1}C^2+B_{1}C^2-B_{1}A^2+C_{1}A^2-C_{1}B^2=0$.

Следствие

Перпендикуляры, опущенные из А₁, В₁, С₁ на BC, АС, AВ соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда перпендикуляры, опущенные из А, В, С на В₁С₁, А₁С₁, В₁С₁ соответственно, пересекаются в одной точке.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Carnot's theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Вторая теорема Карно на ресурсе cut-the-knot