Неравенство Швейцера

Неравенство Швейцера гласит следующее

Для любых вещественных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$, принадлежащих отрезку $[m; M]\;$, где $\!M\geqslant m>0$, имеет место неравенство $\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right) \left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}\right) \leqslant \frac{(m+M)^2}{4mM}\cdot n^2.$ Более того, если $\;n$ нечётно, то $\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right) \left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}\right) \leqslant \frac{(m+M)^2}{4mM}\cdot n^2-\frac{(m-M)^2}{4mM}.$

История

Это неравенство было опубликовано в 1914 г. в статье ^[1] венгерского математика П. Швейцера (венг. P. Schweitzer). Имеется английский перевод этой статьи в приложении к работе^[2]. Поскольку до появления английского перевода со статьёй Швейцера мало кто был знаком, неравенство (вторую его часть) обычно связывают^[3] с именем Лупаша (сербохорв. A. Lupaş), который доказал^[4] это неравенство почти на 60 лет позже Швейцера.

Равносильные неравенства

• (В. Серпинский^[5]) Для любых положительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ верно

$\left(x_1+x_2+\ldots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)\leqslant\left(\frac{A}{G}\right)^n n^2,$

где через A и G обозначены соответственно среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$.

Следствия

• (О. Шиша^[6]) Для любых вещественных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$, принадлежащих отрезку $[m; M]$, где $0<m\leqslant M$, верно неравенство:

$\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}-\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\leq \frac{(M-m)^2}{M+m}.$

• (Z.-C. Hao). Вещественные числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ принадлежат отрезку $[m; M]$, где $0<m\leqslant M$. При условии $0<q\leqslant p<1$ и $p+q=1$ имеет место нервенство:

$\left(x_1+x_2+\ldots+x_n\right)^p\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)^q\leqslant\frac{n(p M+q M)}{m^qM^q}.$

Обобщения

• Неравенство Канторовича (англ.)

Примечания

1. ↑ Schweitzer P. (1914). «Egy egyenlőtlenség az arithmetikai középértékről». Math. és. Phys. Lapok. 23: 257—261. (венг.) («Неравенство, содержащее среднее арифметическое»)
2. ↑ Watson G. S., Alpargu G., Styan G. P. H. (1997). «Some comments on six inequalities associated with the inefficiency of ordinary least squares with one regressor». Linear Algebra and its Appl. 264: 13-54. DOI:10.1016/S0024-3795(97)00228-0.
3. ↑ Mitrinović D. S., Pečarić J. E., Fink A. M. Classical and new inequalities in analysis. Mathemaics and its Applications. — Kluwer Academic Publishers Group, 1993. — Vol. 61.
4. ↑ Lupaş A. (1972). «A remark on the Schweitzer and Kantorovich inequalities». Publ. Elek. Fak. Univ. Beograde, Ser. Mat. i Fiz. 381—409: 13-15.
5. ↑ Sierpiński W. (1909). «Über eine auf das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel sich beziehende Ungleichung». Warsch. Sitzungsber. 2: 354—367. (нем.)
6. ↑ Shisha O. Inequalities I. — 1967. — P. 293—308.

Источник

• А. Храбров Неравенство Швейцера // Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике.