Род целой функции

Определение

Пусть последовательность нулей $\{a_n\}$ целой функции $f$ такова, что ряд $\sum_1^\infty\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n+1}$ сходится при $p_n=\rho$, где $\rho$ — некоторое неотрицательное целое число (без ограничения общности будем считать, что это число — наименьшее из обладающих таким свойством). Тогда бесконечное произведение из формулировки теоремы Вейерштрасса приобретает вид:

$f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_1^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{\rho}\left(\frac{z}{a_n}\right)^\rho\right).$

Если $h(z)$ — многочлен степени $\rho_1$, то $f$ называется целой функцией конечного рода, а число $\max(\rho;\rho_1)$ называется родом целой функции. Если $h$ — не многочлен, либо ряд не сходится ни при каких условиях, тогда $f$ — целая функция бесконечного рода.

Теорема Пуанкаре о скорости роста целой функции

Важность такой характеристики, как род, состоит в том, что с её помощью можно оценить скорость роста целой функции. А именно, рассмотрим величину $M(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|$. Утверждение теоремы Пуанкаре состоит в том, что скорость роста этой функции связана с её родом. А именно, для целой функции $f$ рода $\rho$ и произвольного $\alpha>0$ существует такое $r_0$, что при $r>r_0$ выполняется неравенство $M(r)<e^{\alpha r^{\rho+1}}$.

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики.