- Тензор Вейля
-
Тензор кривизны Вейля это часть тензора кривизны Римана с нулевым следом. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием что построенный по нему тензор Риччи равен нулю.
Назван в честь Германа Вейля.
Определение
Тензор Вейля можно получить из тензора кривизны, если вычесть из него определенные комбинации тензора Риччи и скалярной кривизны. Формула для тензора Вейля легче всего записывается через тензор Римана в форме тензора валентности (0,4):
где n — размерность многообразия, g — метрика, R — тензор Римана, Ric — тензор Риччи, s — скалярная кривизна, а h O k — так называемое произведение Кулкарни — Номидзу двух симметричных тензоров валентности (0,2):
В компонентах, тензор Вейля задается выражением:
где — тензор Римана, — тензор Риччи, — скалярная кривизна и обозначает операцию антисимметрирования.
Свойства
- Тензор Вейля может иметь нетривиальную форму только в пространствах с размерностью не меньше четырёх.В двумерном и трёхмерном пространствах тензоры Вейля тождественно равны нулю.
- Тензор Вейля остается инвариантным при конформных преобразованиях метрики. То есть, если для данной метрики g ввести новую метрику при помощи некоторой функции , то (1,3)-валентный тензор Вейля не изменяется: . По этой причине тензор Вейля еще называют конформным тензором. Из этого свойства следует, что
- для того, чтобы многообразие было конформно евклидовым, необходимо чтобы его тензор Вейля равнялся нулю.
- Для размерностей ≥ 4 это условие оказывается также и достаточным.
- Для пространств размерности 3 необходимым и достаточным условием конформной эвклидовости является равенство нулю тензора Коттона (англ.).
См. также
Категории:- Риманова (и псевдориманова) геометрия
- Общая теория относительности
- Тензоры в ОТО
Wikimedia Foundation. 2010.