Скалярное ранжирование

Скалярное ранжирование — подход к решению многокритериальных задач принятия решений, когда множество показателей качества (критериев оптимальности) сводятся в один с помощью функции скаляризации — целевой функции задачи принятия решения.

Виды функций скаляризации

^{[1] [2]}

Аддитивная (взвешенная сумма)

Аддитивная

$F_1(\vec f(\vec x)) = \sum\limits _{i = 1}^r {w_i f_i (\vec x)},$

где $r$ — количество частных критериев; $w_i$ — коэффициент важности (вес) частного критерия; $f_i (x)$ — функция полезности частного критерия.

Обычно веса нормируют: $w_i \isin [0, 1].$

Мультипликативная (взвешенное произведение)

Мультипликативная

$F_2(\vec f(\vec x)) = \prod\limits_{i = 1}^r {\left[{f_i (\vec x)} \right]} ^{w_i }.$

Каноническая аддитивно-мультипликативная

$F_3(\vec f(\vec x)) = \beta \cdot\sum\limits_{i = 1}^r {w_i f_i (\vec x)} + (1 - \beta ) \cdot \prod\limits_{i = 1}^r {[f_i (\vec x)]} ^{w_i }.$

Каноническая аддитивно-мультипликативная

Модификация канонической аддитивно-мультипликативной

где $\beta$ — адаптационный параметр $0 \le \beta \le 1.$

• Модификация канонической аддитивно-мультипликативной

$F_4(\vec f(\vec x)) = a \cdot \sum\limits_{i = 1}^r {w_i f_i (\vec x)} + b\cdot \prod\limits_{i = 1}^r {[f_i^{} (\vec x)]\,^{w_i } + \;} c \cdot \prod\limits_{i = 1}^r {[f_i^{} (\vec x)]\,^{1/w_i } },$

где $a,\;b,\;c$ — дополнительные параметры, $a + b + c = 1; w_i \ne 0, i = \overline {1,r}.$

Аддитивно-мультипликативная, построенная на основе ряда Винера

На основе ряда Винера

Модификация функции на основе ряда Винера

(сложность определяется степенью полинома)

$F_5(\vec f(\vec x)) =\sum\limits_{i = 1}^r {w_i \cdot f_i (\vec x)} + \sum\limits_{i = 1}^r {\sum\limits_{j = i}^r {} w_{ij} \cdot f_i (\vec x) \cdot f_j (\vec x)} + ... ,$

где $w_{ij}$ — весовые коэффициенты произведения частных критериев $f_i (\vec x) \cdot f_j (\vec x), i,j = \overline {1,\;{\rm{r}}}.$

• Модификация аддитивно-мультипликативной, построенной на основе ряда Винера

(добавлены члены с дробными степенями и отсутствуют произведения несовпадающих частных критериев)

$F_6(\vec f(\vec x)) = \sum\limits_{i = 1}^r {w_i f_i (\vec x)} + \sum\limits_{j = 2}^u {\sum\limits_{i = 1}^r {\{ w_{i + r(2j - 3)} [f_i^{} (\vec x)]^g } } + w_{i + r(2j - 2)} [f_i^{} (\vec x)]^{1/g} \},$

где $u$ — степень базового полинома; $g > 1$ — дополнительный параметр, определяющий характер зависимости.

Показательная

Показательная

$F_7(\vec f(\vec x)) = \sum\limits_{i = 1}^r {(1 - e^{ - w '_i f _i(\vec x) } )},$

где $w '_i = 1 - w_i , i = \overline {1,r}$ — весовые коэффициенты частных критериев, $\sum\limits_{i = 1}^r {w '_i } = 1.$

Энтропийная

Энтропийная

$F_8(\vec f(\vec x)) = \sum\limits_{i = 1}^r {w_i } \cdot f_i(\vec x)^{w_i }.$

См. также

• Многокритериальная оптимизация
• Оптимизация (математика)
• Критерий оптимальности

Литература

1. ↑ Брахман Т. Р. Многокритериальность и выбор альтернативы в технике. — М.: Радио и связь, 1984. — 287 с.
2. ↑ Соболева Е. В. Исследование эффективности критериев обобщенной полезности для задач многокритериального оценивания.