Быстрота

Быстрота́ (англ. rapidity) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»).

Определение и свойства

Быстрота выражается формулой:

$\theta=c\,\mathrm{Arth}\,\frac{v}{c}=\frac{c}{2}\ln\frac{1+\dfrac{v}{c}}{1-\dfrac{v}{c}},$

где

• $~\theta$ — быстрота,
• $~v$ — обычная скорость,
• $~c$ — скорость света,
• $\mathrm{Arth}\,x$ — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) $\mathrm{Arth}\,x\equiv\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ определён в области значений аргумента от −1 до +1; при $x\to\plusmn 1$ $\mathrm{Arth}\,x\to\plusmn\infty.$

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от $~-c$ до $~+c$ меняется от $-\infty$ до $+\infty$. Иногда вводят также параметр быстроты $\varphi\equiv\theta/c\equiv\mathrm{Arth}\,\frac{v}{c}$ — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой.

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:

$\theta\approx v\left(1+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{c}\right)^2\right)$ при $v\ll c$.

Фактор Лоренца

Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или Ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как

$\gamma \equiv \frac {1} {\sqrt{ 1 - v^2 / c^2}}.$

Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:

$\gamma=\mathrm{ch}\,\varphi$.

С увеличением скорости от 0 до $~c$ Лоренц-фактор $~\gamma$ увеличивается от 1 до $+\infty$.

Аддитивность быстроты

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта $~K$ две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна $~v_1$, а скорость второй относительно первой равна $~v'_2$ (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе $~K$ через $~v_2$. При малых (по сравнению со скоростью света $~c$) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей $~v_2=v_1+v'_2$. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей

$v_2=\frac{v_1+v'_2}{1+\dfrac{v_1v'_2}{c^2}}$

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты $\theta \equiv c\,\mathrm{Arth}\frac{v}{c}$. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта $K$ равна сумме быстрот:

$~\theta_2=\theta_1+\theta'_2.$

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

Геометрический смысл быстроты

В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского ($x_0 = ict$) этот угол является мнимым.

В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица j определяется соотношением j²=+1) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом z = ρe^jφ = ρ(ch φ + jsh φ), где φ и ρ — действительные. При этом угол φ является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку z, а ρ — интервалом от начала отсчёта до точки z (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через z). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем λ(φ) = e^jφ. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол φ. Два последовательных Лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты:

λ(φ)·λ(θ) = e^jφ·e^jθ = e^j(φ+θ) = λ(φ+θ).

Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту

Релятивистский импульс:

$~p=mc\cdot\mathrm{sh}\,\frac{\theta}{c},$

где:

• $~m$ — масса,
• $~c$ — скорость света.

Полная энергия:

$~E=E_0\cdot\mathrm{ch}\,\frac{\theta}{c},$

где $~E_0$ — энергия покоя.

Скорость в СТО:

$~v=c\cdot\mathrm{th}\,\frac{\theta}{c}.$

Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):

$~1+z=e^{\theta/c}$,

где $~z$ — параметр красного смещения.

См. также

• Псевдобыстрота
• Лоренцевский буст

Литература

• Бабурова О. В. Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского // Соросовский образовательный журнал. — т. 8. — 2004. — с. 77—84.
• Прохоров А. М. Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 233. — 704 с.