Расширенная числовая прямая

Расширенная числовая прямая $\overline{\mathbb{R}}$ (читается «эр с чертой») — множество вещественных чисел $\mathbb{R}$, дополненное двумя элементами: $+\infty$ (положительная бесконечность) и $-\infty$ (отрицательная бесконечность), то есть

$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}$

Бесконечности $+\infty$ и $-\infty$, которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами, в отличие от вещественных чисел $a \in \mathbb{R}$, называемых конечными числами. При этом для любого вещественного числа $x \in \mathbb{R}$ по определению полагают выполненными неравенства

$-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty$

Cледует отличать расширенную числовую прямую $\overline{\mathbb{R}}$ от множества вещественных чисел, дополненного одной бесконечностью $\infty$. Такая система называется проективной прямой, и обозначается $\mathbb{R}P^1$

Мотивировка

При формулировке многих теорем и определений математического анализа приходится отдельно рассматривать случаи «конечного» и «бесконечного».

Например, отдельно формулируются понятия сходящейся последовательности

$\lim_{n \to \infty}x_n = a \in \mathbb{R} \quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall n (n > \delta \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon)$

и последовательности, предел которой равен $+\infty$:

$\lim_{n \to \infty}x_n = +\infty \quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall n (n > \delta \Rightarrow x_n > \varepsilon)$

Отдельно формулируются понятия предела функции при $x \to a \in \mathbb{R}$

$\lim_{x \to a}f(x) = A \quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x (|x-a|< \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon)$

и предела при $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty}f(x) = A \quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x (x > \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon)$

Эти соображения наводят на мысль рассматривать бесконечности $+\infty$ и $-\infty$ как равноправные члены системы $\overline{\mathbb{R}}$, наряду с конечными числами. Благодаря этому достигается единообразие в формулировках и доказательствах теорем математического анализа.

Упорядоченность

Основная статья: Частично упорядоченное множество

Множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ линейно упорядоченно по отношению $\leqslant$. Однако в $\mathbb{R}$ нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то ее расширение до системы $\overline{\mathbb{R}}$ как раз состоит в добавлении максимального ($+\infty$) и минимального ($-\infty$) элементов.

Благодаря этому, в системе $\overline{\mathbb{R}}$ всякой непустое множество имеет точную верхную грань (конечную, если множество ограничено сверху, и $+\infty$, если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов $+\infty$ и $-\infty$.

Топология расширенной числовой прямой

Основная статья: Топологическое пространство

Открытые множества и окрестности

Отношение порядка $<$ порождает топологию $\tau$ на $\overline{\mathbb{R}}$. В топологии $\tau$ открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов

$(\alpha,\beta) = \{x \in \overline{\mathbb{R}} \colon \alpha < x < \beta\}, \quad (\alpha, +\infty] = \{ x \in \overline{\mathbb{R}} \colon x > \alpha\}, \quad [-\infty, \beta) = \{ x \in \overline{\mathbb{R}} \colon x < \beta\},$

где $\alpha, \beta \in \overline{\mathbb{R}}$.

Окрестностью $U(a)$ точки $a \in \overline{\mathbb{R}}$ называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии $\tau$, всякая окрестность точки $a$ включает один из интервалов указанного вида, содержащий $a$.

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие $\varepsilon$-окрестности $U_{\varepsilon} (a)$ точки расширенной числовой прямой ($\varepsilon > 0$).

В случае $a \in \mathbb{R}$, то есть когда $a$ является числом, $\varepsilon$-окрестностью $a$ называется множество

$U_{\varepsilon} (a) \overset{\mathrm{def}}{=} (a - \varepsilon , a + \varepsilon).$

Если же $a = +\infty$, то

$U_{\varepsilon} (+\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left( \frac{1}{\varepsilon}, +\infty \right],$

а если $a = -\infty$, то

$U_{\varepsilon} (-\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left[ -\infty, -\frac{1}{\varepsilon} \right).$

Понятие $\varepsilon$-окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда $a$ является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа $\varepsilon$ соответствующие окрестности уменьшаются: $0 < \varepsilon_1 <\varepsilon_2 \Rightarrow U_{\varepsilon_1}(a) \subset U_{\varepsilon_2}(a)$.

Пределы

В $\overline{\mathbb{R}}$ все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть $f \colon X \to \overline{\mathbb{R}}$, где $X \subset \overline{\mathbb{R}}$. В частности $f$ может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть $x_0, a \in \overline{\mathbb{R}}$

$\lim_{x \to x_0} f(x)=a \overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in X \; (x \in U_{\delta}(x_0) \Rightarrow f(x) \in U_{\varepsilon}(a))$

Компактность

$\overline{\mathbb{R}}$ — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел $\mathbb{R}$ является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел $\overline{\mathbb{R}}$ может рассматриваться как двухточечная компактификация $\mathbb{R}$. При этом $\overline{\mathbb{R}}$ оказывается гомеоформным отрезку $[0,1]$. Этот факт имеет наглядное геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм $f \colon [0,1] \to \overline{\mathbb{R}}$ задается формулой

$f(x) = \operatorname{tg} \left( \pi x - \frac{\pi}{2} \right)$

Примечания

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4
• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
• Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3