Эмпирическая функция распределения

Эмпирическая функция распределения

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Определение

Пусть X_1,\ldots, X_n,\ldots - выборка из распределения, задаваемого функцией распределения F(x). Будем считать, что X_i,\; i\in \mathbb{N} - независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов Ω. Пусть x \in \mathbb{R}. Определим случайную величину \hat{F}(x):\Omega \to \mathbb{R} следующим образом:

\hat{F}(x) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i \le x\}},

где \mathbf{1}_A - индикатор события A. Таким образом выборочная функция распределения в точке x равна относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение x. Случайная величина \hat{F}(x) называется выборочной функцией распределения выборки X_1,\ldots,X_n.

Основные свойства

p(x_i) = N_{x_i}, \; i = 1,\ldots, n,

где xi = Xi(ω), а N_{x} = \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{1}_{\{x = x_j\}} - количество элементов выборки, равных x. В частности, если все элементы выборки различны, то N_{x_i} = 1,\; \forall i.

\sum\limits_{i=1}^n x_i N_{x_i} = \bar{X}(\omega).

Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.

n \hat{F}(x) \sim \mathrm{Bin}(n,F(x)).
\mathbb{E}\left[\hat{F}(x)\right] = F(x).
  • Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
\mathrm{D}\left[\hat{F}(x)\right] = \frac{F(x)(1-F(x))}{n}.
\hat{F}(x) \to F(x) почти наверное при n \to \infty.
\sqrt{n}\left(\hat{F}(x) - F(x)\right) \to \mathrm{N}\left(0,F(x)(1-F(x))\right) по распределению при n \to \infty.

См.также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Эмпирическая функция распределения" в других словарях:

  • Эмпирическая функция распределения — 2.13. Эмпирическая функция распределения Источник: ГОСТ 15895 77: Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКАЯ — функция распределения вероятностей выборочных значений случайной величины. Определяется равенством где x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ хn вариационный ряд. Это ступенчатая неубывающая функция, статистический аналог функции распределения F(x)… …   Геологическая энциклопедия

  • ЭМПИРИЧЕСКАЯ ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ — (frequency distribution) Функция, описывающая распределение случайных значений переменной. Если переменная х принимает значения на непрерывном отрезке и имеет минимальное значение а и максимальное значение b, эмпирическая плотность распределения… …   Экономический словарь

  • Распределения —         одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Р. вероятностей какой либо случайной величины, т. е. величины, принимающей в зависимости от случая то или иное численное значение, задаётся указанием возможных… …   Большая советская энциклопедия

  • Светимости функция —         эмпирическая зависимость, характеризующая распределения звёзд по светимостям (или по абсолютным звёздным величинам (См. Звёздная величина)). С. ф. φ(M) позволяет вычислить долю N звёзд, находящихся в некотором объёме пространства и… …   Большая советская энциклопедия

  • ГОСТ 15895-77: Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения — Терминология ГОСТ 15895 77: Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения оригинал документа: 2.30. k я порядковая статистика x(k) Определения термина из разных документов: k я порядковая статистика 2.44.… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИКИ — методы математич. статистики, не предполагающие знания функционального вида генеральных распределений. Название непараметрические методы подчеркивает их отличие от классических параметрических методов, в к рых предполагается, что генеральное… …   Математическая энциклопедия

  • Надёжность — У этого термина существуют и другие значения, см. Надёжность (значения). Надёжность  свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных… …   Википедия

  • Критерий согласия Колмогорова — или Критерий согласия Колмогорова Смирнова  статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.… …   Википедия

  • Критерий Колмогорова — В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»