Теорема Егорова

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка

Пусть дано пространство с конечной мерой $(X,\mathcal{F},\mu)$ так, что $\mu(X) < \infty$, и определённая на нём последовательность измеримых функций $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$, сходящаяся почти всюду к $f$. Тогда $\forall \varepsilon > 0,\; \exists X_{\varepsilon} \subset X$ такое, что $\mu(X \setminus X_{\varepsilon}) < \varepsilon$, и последовательность $\{f_n\}$ равномерно сходится к $f$ на $X_{\varepsilon}$.

Замечания

• Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
• Конечность $\mu(X)$ принципиальна. Пусть, например, $(X,\mathcal{F},\mu) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)$, где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ — борелева σ-алгебра на $\mathbb{R}$, а $m$ — мера Лебега. Заметим, что $m(\mathbb{R}) = \infty$. Пусть $f_n(x) = \mathbf{1}_{[n,n+1]}(x),\; x\in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$, где $\mathbf{1}_A$ обозначает индикатор-функцию множества $A$. Тогда $\{f_n\}$ сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

См. также

• Теорема Лузина
• Егоров, Дмитрий Фёдорович

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Dmitri Egoroff. Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris,(1911) 152:135–157.