Логическое умножение

Конъю́нкция — логическая операция, по своему применению максимально приближенная к союзу "и". Синонимы: логи́ческое "И", логи́ческое умноже́ние, иногда просто "И".

Это бинарная инфиксная операция, то есть, она имеет два операнда и ставится между ними. Чаще всего встречаются следующие варианты записи:
$~a$ && $~b, ~a$ & $~b, a \land b, a \cdot b, ~a~\mbox{AND} ~b$.
По аналогии с умножением в алгебре знак логического умножения может быть пропущен: $~a b$.

Булева алгебра

В булевой алгебре конъюнкция - это функция двух переменных (они же - операнды операции). Переменные могут принимать значения из множества $~\{0, 1\}$. Результат также принадлежит множеству $~\{0, 1\}$. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений $~0, 1$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например $~false, true$ или $~F, T$ или "ложь", "истина".

Правило: результат равен $~1$, если оба операнда равны $~1$; во всех остальных случаях результат равен $~0$.

Таблица истинности:

$~a$	$~b$	$~a \land b$
$~0$	$~0$	$~0$
$~0$	$~1$	$~0$
$~1$	$~0$	$~0$
$~1$	$~1$	$~1$

Многозначная логика

В многозначной логике операция конъюнкции может определяться другими способами. Чаще всего применяется схема: $a \land b = min(a, b)$, где $~a, b \in [0, 1]$. Возможны и другие варианты. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства конъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства конъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для конъюнкции:
$~a \land b \to a$
$~a \land b \to b$
$~a \to (b \to (a \land b))$

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию конъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта конъюнкции: логическое "И" и побитовое "И". Например, в языках C/C++ логическое "И" обозначается символом "&&", а побитовое - символом "&".

Логическое "И" применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата $~false$ или $~true$. Например:

if (a && b) 
{
    /* какие-то действия */
};

Результат будет равен $~true$, если оба операнда равны $~true$ (для числовых типов не равны $~0$). В любом другом случае результат будет равен $~false$.

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно $~false$, то значение правого операнда не вычисляется (вместо $~b$ может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приемом в некоторых случаях. Например, если левый операнд проверяет возможность вычисления правого операнда:

if (a != 0 && b / a > 3) 
{
    /* какие-то действия */
};

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдет деления на ноль.

Побитовое "И" выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если
a =	$~01100101_2$
b =	$~00101001_2$
то
a И b =	$~00100001_2$

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между конъюнкцией и союзом "и" в естественном языке. Составное утверждение "A и B" считается истинным, когда истинны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению конъюнкции в булевой алгебре, если "истину" обозначать как 1, а "ложь" как 0. При этом часто делают стандартную оговорку о неоднозначности естественного языка. Например, в зависимости от контекста союз "и" может нести дополнительный оттенок "и тогда", "и поэтому", "и потом"..."И" также несет в себе оттенок неопределенного смысла. Отличие логики естественного языка от математической остроумно выразил американский математик Стивен Клини, заметив, что в естественном языке "Мэри вышла замуж и родила ребенка" - не то же самое, что "Мэри родила ребенка и вышла замуж".

См. также

• Логическая операция
• Дизъюнкция
• Импликация
• Отрицание