- Площадь фигуры
-
Пло́щадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.
Содержание
Об определении
Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.
Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:
- (положительность) площадь неотрицательна;
- (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
- конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
- (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.
Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть
- Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:
Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .
Связанные определения
- Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.
Комментарии
На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.
То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).
Площади некоторых фигур
Формулы для нахождения площадей различных фигур
Фигура Формула Комментарий Правильный треугольник — длина стороны треугольника. Треугольник Формула Герона. — полупериметр, , и — длины сторон треугольника. Треугольник и — две стороны треугольника, а — угол между ними. Треугольник и — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне. Квадрат — длина стороны квадрата. Прямоугольник и — длины сторон прямоугольника. Ромб и — длины диагоналей ромба. Параллелограмм — длина одной из сторон параллелограмма, а — высота, проведённая к этой стороне. Трапеция и — длины параллельных сторон, а — расстояние между ними (высота). Правильный шестиугольник — длина стороны шестиугольника. Правильный восьмиугольник — длина стороны восьмиугольника. Правильный многоугольник — длина стороны многоугольника, а — количество сторон многоугольника. — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а — периметр многоугольника. Круг или — радиус окружности, а — её диаметр. Сектор круга и — соответственно радиус и угол сектора (в радианах). Эллипс и — большая и малая полуоси эллипса. Поверхность Цилиндра и — радиус и высота цилиндра соответственно. Боковая поверхность цилиндра и — радиус и высота цилиндра соответственно. Поверхность конуса и — радиус и длина образующей соответственно. Боковая поверхность конуса и — радиус и длина образующей соответственно. Поверхность сферы и — радиус и диаметр соответственно. Поверхность эллипсоида См. статью. - Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
- Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
- Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:
- ,
- где — угол между диагоналями.
- Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:
- Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
- Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
См. также
- Площадь
- Мера Бореля
- Мера Жордана
- Мера Лебега
- Ориентированная площадь
- Площадь поверхности
- Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
- Исчезновение клетки
Ссылки
- В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
- Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
- В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.
Категории:- Планиметрия
- Площадь
Wikimedia Foundation. 2010.